角POQ=30度,A为OQ上一点,B为OP上一点,且OA=5,OB=12,在OB上取点A1,在OQ上取一点A2,设L=AA1+A1A2+A2B,求L的最小值

Question

角POQ=30度,A为OQ上一点,B为OP上一点,且OA=5,OB=12,在OB上取点A1,在OQ上取一点A2,设L=AA1+A1A2+A2B,求
L的最小值

Answer 1

作点A2关于直线OP的对称点M,连接OM、A1M、MB,
则有：A1A2 = A1M ,A2B = MB ,∠POM = ∠POQ = 30° ；
作点B关于直线OM的对称点N,连接ON、MN,
则有：MB = MN ,ON = OB = 12 ,∠NOM = ∠POM = 30° ；
L = AA1+A1A2+A2B = AA1+A1M+MB = AA1+A1M+MN ；
因为,点A到点N之间的最短距离为线段AN,
所以,当A1和M在线段AN上时,L = AA1+A1M+MN = AN 为最小值；
因为,∠NOQ = ∠NOM+∠POM+∠POQ = 90° ；
由勾股定理可得：AN = √(OA²+ON²) = 13 ,
所以,L的最小值为 13 .