一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示．（1）求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由，求点A1与点C的连线与平

Question

一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示．
（1）求AD与平面A ₁ BCC ₁ 的位置关系并说明理由，求点A ₁ 与点C的连线与平面ABCD所成角的大小；
（2）求此多面体的表面积和体积．

Answer 1

由视图可知，直观图为直三棱柱，高为a，底面为底边与高均为a的等腰三角形．
 （1）由于AD ∥ BC，BC?平面A ₁ BCC ₁ ，∴AD ∥ 平面A ₁ BCC ₁ ，
取AB的中点O，连接OA ₁ ，CO，A ₁ C，则OA ₁ ⊥平面ABCD，
∴∠A ₁ CO为点A ₁ 与点C的连线与平面ABCD所成角
在直角三角形A ₁ CO中，A ₁ O=a，OC= (5)/(2) a
∴tan∠A ₁ CO= (25)/(5)
∴∠A ₁ CO= arctan(25)/(5) ；
（2）根据直观图的多面体的表面积为 2×(1)/(2) ×a 2 +2×(5)/(2) a 2 + a 2 =(2+

5

) a 2
体积为 (1)/(2) a 2  ×a=(1)/(2) a 3