如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）若二面角C1-AD-C的大小为60°，求AB1与平面ADC1所成角的正弦值．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点．

（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-AD-C的大小为60°，求AB₁与平面ADC₁所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结A₁C交AC₁于点E，则E是A₁C的中点．         …（2分）
连结DE，∵D是BC的中点，∴DE∥A₁B．…（4分）
∵DE⊂面ADC₁，A₁B⊄面ADC₁，
∴A₁B∥面ADC₁．        …（6分）
（Ⅱ） ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
∵C₁C⊥面ABC，∴C₁C⊥AD，
∴AD⊥面BCC₁B₁，…（8分）
∴∠C₁DC就是二面角C₁-AD-C的平面角，即∠C₁DC=60°．  …（9分）
∵AD⊥面BCC₁B₁，∴面ADC₁⊥面BCC₁B₁．
过B₁作B₁H⊥C₁D于H，∴B₁H⊥面ADC₁，…（11分）
连结AH，则∠B₁AH就是AB₁与平面ADC₁所成的角．  …（12分）
设CD=1，则C1C=√(3)， AB1=√(5)，B1H=√(3)，
∴sin∠B1AH=(B1H)/(AB1)=(√(3))/(√(5))=(√(15))/(5)，
即AB₁与平面ADC₁所成角的正弦值为(√(15))/(5)． …（14分）