已知点P为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞0，b＞0)上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点．O为坐标原点，若(OP+OF2)•F2P＝0且△PF1F2的面积为22ac（c为椭圆半焦距）则椭圆的离心率为2222．

Question

已知点P为椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)上一点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点．O为坐标原点，若(

OP

+

OF2

)•

F2P

＝0且△PF₁F₂的面积为(√(2))/(2)ac（c为椭圆半焦距）则椭圆的离心率为

(√(2))/(2)

(√(2))/(2)

．

Answer 1

由题意，∵若(

OP

+

OF2

)•

F2P

＝0，∴△PF₁F₂为直角三角形
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=2a，(1)/(2)mn=(√(2))/(2)ac，m²+n²=4c²，
∴4a²-2√(2)ac=4c²，
∴e²+(√(2))/(2)e-1=0
∵0＜e＜1，∴e=(√(2))/(2)
故答案为：

作业帮用户 2017-10-12

问题解析

先确定△PF₁F₂为直角三角形，再结合椭圆的定义，三角形的面积，建立方程，即可求得结论．

名师点评

本题考点：

椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．

考点点评：

本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．

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