根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1），，，，，…（2），2，，8，，…（3）5，55，555，5555，55555，…（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…（5）1，3，7

Question

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1） ， ， ， ， ，…
（2） ，2， ，8， ，…
（3）5，55，555，5 555，55 555，…
（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…
（5）1，3，7，15，31，…

Answer 1

（1）a _n = .（2）a _n = .（3）a _n =  (10 ⁿ -1).（4）a _n =5sin .（5）a _n =2 ⁿ -1

（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式
a _n = .
（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察： ， ， ， ， ，…，
可得通项公式a _n = .
（3）联想 =10 ⁿ -1,
则a _n = = = (10 ⁿ -1),
即a _n =  (10 ⁿ -1).
（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，
则a _n =5sin .
（5）∵1=2-1，3=2 ² -1，7=2 ³ -1，…
∴a _n =2 ⁿ -1
故所求数列的通项公式为a _n =2 ⁿ -1.