如图，对线段AB进行如下操作：在AB上取点P1，使得BP1=12AB-1，再在BP1上取点P2，使得BP2=12BP1-1，…，如此继续下去：（1）如果P1P2=1，求AB的长；（2）如果AB=6，且Pn-1Pn=1，求n的值；（3）如果P2014

Question

如图，对线段AB进行如下操作：在AB上取点P₁，使得BP₁=(1)/(2)AB-1，再在BP₁上取点P₂，使得BP₂=(1)/(2)BP₁-1，…，如此继续下去：

（1）如果P₁P₂=1，求AB的长；
（2）如果AB=6，且P_n-1P_n=1，求n的值；
（3）如果P₂₀₁₄P₂₀₁₅=1，请直接写出AB的长．

Answer 1

（1）因为BP₁=(1)/(2)AB-1，BP₂=(1)/(2)BP₁-1，
可得P₁P₂=BP₁-BP₂=(1)/(2)((1)/(2)AB-1)-1=1，
解得：AB=10；
（2）由（1）可得P_n-1P_n=(1)/(2n-1)((1)/(2)AB-1)-1，
因为AB=6，P_n-1P_n=1，
所以可得：n=1；
（3）由（1）可得P_n-1P_n=(1)/(2n-1)((1)/(2)AB-1)-1，
因为P₂₀₁₄P₂₀₁₅=1，
所以可得：AB=2²⁰¹⁵+2．