已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作O，BC切O于点C，连接AC交OB于点P．（1）求证：BP=BC；（2）若sin∠PAO=13，且PC=7，求O的半径．

Question

已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作 O，BC切 O于点C，连接AC交OB于点P．
（1）求证：BP=BC；
（2）若sin∠PAO=(1)/(3)，且PC=7，求 O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵BC是 O切线，
∴∠OCB=90°，
∴∠OCA+∠BCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∠BOA=90°，
∴∠OAC+APO=90°，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠OAC+∠BPC=90°，
∴∠BPC=∠BCA，
∴BC=BP．
（2） 延长AO交 O于点E，连接CE，
在Rt△AOP中，∵sin∠PAO=(1)/(3)，
设OP=x，AP=3x，则AO=2√(2)x，
∵AO=OE，
∴OE=2√(2)x，
∴AE=4√(2)x，
∵sin∠PAO=(1)/(3)，
∴(CE)/(AE)=(1)/(3)，
∴(AC)/(AE)=(2√(2))/(3)，
∴(3x+7)/(4√(2)x)=(2√(2))/(3)，
解得：x=3，
∴AO=6√(2)．