开口向下的抛物线经过原点O和点E（4,0）,顶点P到x轴的距离为4.点A（a,0）是线段OE上一点,不与O,E重合,点B坐标为（a+2,0）.分别过A,B作x轴的垂线,交抛物线于C、D.(1)求抛物线的解析式.（2）当0＜a

Question

开口向下的抛物线经过原点O和点E（4,0）,顶点P到x轴的距离为4.点A（a,0）是线段OE上一点,不与O,E重合,点B坐标为（a+2,0）.分别过A,B作x轴的垂线,交抛物线于C、D.(1)求抛物线的解析式.（2）当0＜a＜2时,求四边形ABDC的面积S与a的函数关系式,并求出S的最大值.（3）当0＜a＜4时,求以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形时a的值.

Answer 1

我今晚才注册上.回答这个问题是我的首题.
(1)因为此抛物线过原点,所以可设此抛物线为：
y=ax2+bx
又因为此抛物线经过点E（4,0）,所以它的对称轴为x=2,再由顶点P到X轴的距离为4,且此抛物线开口向下,知它的顶点坐标为(2,4).
由此可列出方程组:
16a+4b=0
4a+2b=4
解得a=-1,b=4
从而此抛物线的解析式为:
y=-x2+4x
(2)因为0＜a＜2,所以2＜a+2＜4.
由此可知,C、D两点都在X轴的上方.从而四边形ABDC是一个直角梯形.
易知C点的坐标为（a,-a2+4a),D点的坐标为（a+2,-(a+2)2+4(a+2))=(a+2,-a2+4)
从而四边形ABDC的面积S与a的函数关系式为：
S=（（（-a2+4a）+(-a2+4)）*2）/2=-2a2+4a+4
再由S=-2a2+4a+4=-2（a-1)2+6,得S的最大值是6.
（3）首先,要使四边形ABDC是平行四边形,必须有4＜a+2,即2＜a.
此时,C点在X轴上方,D点在X轴下方.从而,
0＜-a2+4a,
-a2+4＜0
且,为使AC=BD,须有
-a2+4a=-（-a2+4）
整理得
a2-2a-2=0,解得
a=1+根3,或者a=1-根3(与0＜a＜4不符,舍去）
于是,a的值为：
1+根3
关于第（3）问,楼上所给的答案与我的答案合在一起就完整了.