在三角形OAB中,已知P为线段AB上的一点,向量OP=x·向量OA+y·向量OB（1）求证x+y=11）若向量BP=向量PA,求x、y的值,2）若向量BP=3向量PA,0A向量绝对值=4,OB向量绝对值=5,且OA与OB夹角为60度时,求OP·AB的值

Question

在三角形OAB中,已知P为线段AB上的一点,向量OP=x·向量OA+y·向量OB
（1）求证x+y=1
1）若向量BP=向量PA,求x、y的值,
2）若向量BP=3向量PA,0A向量绝对值=4,OB向量绝对值=5,且OA与OB夹角为60度时,求OP·AB的值

Answer 1

(1)P为线段AB上的一点,则向量AP=tAB (t为唯一确定的实数) .
向量OP=OA+AP=OA+ tAB=OA+ t(OB-OA)=(1-t) OA +t OB.
若向量OP=x•向量OA+y•向量OB,则x=1-t,y=t,
所以x+y=1.
(2)
①若向量BP=向量PA,则点P为线段AB中点.
根据平行四边形法则可知：向量OP=1/2向量OA+1/2向量OB ,
所以x=y=1/2.
②|0A|=4,|OB|=5,且OA与OB夹角为60°时,
则OA• OB=|0A||OB|cos60°=10.OA²=16,OB²=25.
若向量BP=3向量PA,
则向量OP=OB+BP= OB+3/4BA= OB+3/4(OA-OB)=3/4OA+1/4OB.
OP•AB=(3/4OA+1/4OB)(OB-OA)
=3/4 OA• OB-3/4 OA²+1/4OB²-1/4 OA• OB
=1/2 OA• OB-3/4 OA²+1/4OB²
=5-12+25/4=-3/4.