如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=4，AB=10，点P射线BD上一动点，以CP为直径作O，点P运动时．若O与线段AB有公共点，则BP最大值为．

Question

如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=4，AB=10，点P射线BD上一动点，以CP为直径作 O，点P运动时．若 O与线段AB有公共点，则BP最大值为___．

Answer 1

当AB与 O相切时，PB的值最大，如图，
设AB与 O相切于点E，连接OE，则OE⊥AB，
过C作CF⊥PB于F，
∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥OE∥PB，
∴四边形ABFC是矩形，
∴CF=AB=10，
∵CO=OP，
∴AE=BE，
∴OE是梯形ABPC的中位线，
∴OE=(1)/(2)（AC+PB），
设PB=x，则OE=(1)/(2)（4+x），
∴PC=2OE=4+x，PF=x-4，
由勾股定理得：10²+（x-4）²=（4+x）²，
解得：x=(25)/(4)，
∴BP最大值为(25)/(4)；
故答案为：(25)/(4)．