在三棱锥V-ABC中，D、E、F分别是VA、VB、VC上的点并且ADAV=AEAC=VFVB=CGCB=13．求证：直线DF、EG、AB共点．

Question

在三棱锥V-ABC中，D、E、F分别是VA、VB、VC上的点并且(AD)/(AV)=(AE)/(AC)=(VF)/(VB)=(CG)/(CB)=(1)/(3)．求证：直线DF、EG、AB共点．

Answer 1

证明：∵(AD)/(AV)=(AE)/(AC)=(VF)/(VB)=(CG)/(CB)=(1)/(3)，
∴DE∥VC，FG∥VC，DE=(1)/(3)VC，FG=(2)/(3)VC，
∴DE∥FG，DE=(1)/(2)FG，
∴直线DF、EG交于一点O，
∴O∈DF，O∈EG，
∴O∈平面VAG，O∈平面VAB，
∵平面VAG∩平面VAB=AB，
∴O∈AB，
∴直线DF、EG、AB共点O．