数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称数列{an}是“E数列”．（1）数列{an}的前n项和Sn=3n（n∈N*），判断数列{an}是否为“E数列”，并说明理由；（2）数

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S_n=a_m，则称数列{a_n}是“E数列”．
（1）数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ（n∈N^*），判断数列{a_n}是否为“E数列”，并说明理由；
（2）数列{b_n}是等差数列，其首项b₁=1，公差d<0，数列{b_n}是“E数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{a_n}，总存在两个“E数列”{b_n}和{c_n}，使得a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．

Answer 1

（1）由S_n=3ⁿ（n∈N^*），且a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1，（n>1），
可得a_n=

3，n=1

2•3n-1，n≥2

，当n=2时，9=2•3^n-1，得m∉N^*，所以不是“E数列”；
（2）由数列{b_n}是等差数列，其首项b₁=1，公差d<0，
可得n+(n(n-1))/(2)d=1+（m-1）d，即为m=(n-1)/(d)+(n(n-1))/(2)+1，
(n(n-1))/(2)为非负整数，所以首先(n-1)/(d)要恒为整数，d为所有非负整数的公约数且d<0，
所以d=-1；
（3）证明：首先，若d_n=bn（b是常数），
则数列{d_n}前n项和为S_n=(n(n-1))/(2)b是数列{d_n}中的第(n(n-1))/(2)项，
因此{d_n}是“E数列”，
对任意的等差数列{a_n}，a_n=a₁+（n-1）d（d为公差），
设b_n=na₁，c_n=（d-a₁）（n-1），
则a_n=b_n+c_n，
而数列{b_n}，{c_n}都是“E数列”，
故对任意的等差数列{a_n}，总存在两个“E数列”{b_n}和{c_n}，
使得a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立．