在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n-k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为Pn（k）．（1）求P3（1）（2）求4k=0P4（k）；（3）

Question

在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n-k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P_n（k）．
（1）求P₃（1）
（2）求

4

k=0

P₄（k）；
（3）证明

n

k=0

kP_n（k）=n

n-1

k=0

P_n-1（k），并求出

n

k=0

kP_n（k）的值．

Answer 1

（1） ∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，
∴P₃（1）=3；
（2）

4

k=0

P4(k)=P4(0)+P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=

C

0 4

C

1 3

C

1 3

+

C

1 4

C

1 2

+

C

2 4

+0+1=9+8+6+0+1=24；
（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有

C

k n

种；其余n-k个元素重新排列，并且使其余n-k个元素都要改变位置，则有Pn(k)=

C

k n

Pn-k(0)，
故

n

k=0

kPn(k)=

n

k=0

k

C

k n

Pn-k(0)，
又∵k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

，
∴

n

k=0

kPn(k)=

n

k=0

k

C

k n

Pn-k(0)=n

n-1

k=0

C

k n-1

Pn-k-1(0)=n

n-1

k=0

Pn-1(k)．
令an=

n

k=0

kPn(k)，则a_n=na_n-1，且a₁=1．
于是a₂a₃a₄…a_n-1a_n=2a₁×3a₂×4a₃×…×na_n-1，
左右同除以a₂a₃a₄…a_n-1，得a_n=2×3×4×…×n=n!
∴

n

k=0

kPn(k)=n!．