小王上楼梯，他跨步的方法是：一步上一个台阶，或一步上两个台阶．(1)如果楼梯有三个台阶，则小王上楼有几种不同的走法？(2)如果楼梯有四个台阶，则小王上楼有几种不同的走法

Question

小王上楼梯，他跨步的方法是：一步上一个台阶，或一步上两个台阶．

(1)如果楼梯有三个台阶，则小王上楼有几种不同的走法？

(2)如果楼梯有四个台阶，则小王上楼有几种不同的走法？

(3)如果楼梯有五个台阶，则小王上楼有几种不同的走法？

(4)上述三种情况有什么特定的数列关系？如果共有十个台阶，有多少种不同的走法？

Answer 1

　　探究：设上有n个台阶的楼梯共有a_n种不同的走法．

　　(1)当n＝3时，小王上楼梯的不同方法种数为a₃＝3；

　　(2)当n＝4时，小王上楼梯的不同方法种数为a₄＝5；

　　(3)当n＝5时，小王上楼梯的不同方法种数为a₅＝8；

　　(4)上述数量关系为a₅＝a₃＋a₄．一般地，有a_n＝a_n－1＋a_n－2(n≥3，n∈N^*)．

　　因此当n＝10时，由递推关系求得a₁₀＝89，即小王上10个台阶的楼梯共有89种方法．

　　结论：当n＝1时，a₁＝1，当n＝2时，a₂＝2，故数列{a_n}是从第3项开始的斐波那契数列．