对于相邻的两个斐波那契数列的比值你有什么发现

Question

对于相邻的两个斐波那契数列的比值你有什么发现

Answer 1

后一个数是前两个数的和.繁分数分母总是大于1,所以的值总是小于1
而分子总是取先前的分母,除了第一次分子分母均是1时,值等于1/2,后来的值均大于1/2
而每次计算繁分数时,繁分数分母中的分母总是不变,分子总是先前分子与分母之和
这就完全符合斐波那契数列的展开规律
那么这个最简单的无穷连分数的值是多少呢?
也就是斐波那契数列连续两项之比的极限是多少呢?
设：x=1/(1+1/(1+1/(1+...)))
显然有：x=1/(1+x)
即：x^2+x-1=0
x=(√5-1)/2=0.618...(舍去负值)
这就是黄金分割比例,也是斐波那契数列连续两项之比的极限
这就是楼主所说的：“越来越接近黄金比例”的原因.
所谓“随n的增加,两数之间的差距越来越小”,其实就是越来越接近极限嘛.
那为什么“任意两数不断相加”都这样呢?
黄金分割比例其实是个中外比的问题：
所谓中外比,就是分已知线段为两部分,使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项.
如果把较长的一段设为x,则较短的一段为1-x
所以,x^2=1*(1-x) 【其中“1”表示全线段】
即：x^2+x-1=0,与上面解最简单的无穷连分数的方程完全一致
注意这里的全线段用1来表示,这就是说求黄金分割比例与线段的实际长度无关
同样道理,对于斐波那契数列的展开,如果考察的是前后两项的比例
那么,从哪两个数开始相加,就是无所谓的了
因为总是两个数中的大数与两数和之比,这与黄金分割的中外比完全是一个意思
况且除了第一个比值还不是与“和”比之外,其他所有比值总是在0.5和1之间
如果开始的两个数不相同,那么：m,n,m+n,m+2n,2m+3n,3m+5n,...
可见还是按斐波那契数列规律在展开,当然这是大致理解,严格的证明要看相关资料
再想想看,如果斐波那契数列最开始两个数是1和2呢?不同了吧.
还不是一样展开,除少了第一项外,其他并没有什么不同.
如果开始的两个数相同,那么：m,m,2m,3m,...其实就是斐波那契数列,
只是每个数差个m倍而已,完全不影响连续两项之比的值.而且从第3项开始,a前的系数恰好构成斐波那契数列；
从第2项开始,b前的系数恰好构成斐波那契数列；
于是,由斐波那契数列通项公式有：
第n个数a前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-2） - [(1-√5)/2]^（n-2）}
第n个数b前的系数=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-1） - [(1-√5)/2]^（n-1）}
所以第n个数（n≥3）为：
(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-2） - [(1-√5)/2]^（n-2）}*a+(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（n-1） - [(1-√5)/2]^（n-1）}*b.