关于常系数非齐次线性微分方程的问题...在讨论非齐次方程的特解时.在f(x)=exp(λx)*P(x)时.如果λ是其特征方程的单根,但2λ+p不等于0.则令Q（x）=xQ（x）.请问此时λ能不能是特征方程的重根?还有

Question

关于常系数非齐次线性微分方程的问题...
在讨论非齐次方程的特解时.在f(x)=exp(λx)*P(x)时.如果λ是其特征方程的单根,但2λ+p不等于0.则令Q（x）=xQ（x）.请问此时λ能不能是特征方程的重根?还有请问重根和单根在这具体指什么?

Answer 1

λ不可能是重根.
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λ^2+pλ+q=0是一元二次方程,根、单根、重根的判定与求解与中学学过的没有什么区别.根可以用求根公式表示,重根自然是λ=-p/2,这时候λ^2+pλ+q=0,2λ+p=0.
从函数的角度来说,f(x)=0就代表x是根.如果f(x)=0且f'(x)=0,那么x至少是二重根.设f(x)=x^2+px+q,那么λ是根代表f(λ)=0.λ是单根代表f(λ)=0且f'(λ)≠0,即λ^2+p+q=0,2λ+p≠0.λ是重根代表f(λ)=0且f'(λ)=0,即λ^2+p+q=0,2λ+p=0