数学上被成为黑洞的固定数字T是神马

Question

数学上被成为黑洞的固定数字T是神马

Answer 1

黑洞原是天文学中的概念,表示这样一种天体：它的引力场是如此之强,就连光也不能逃脱出来.数学中借用这个词,指的是某种运算,这种运算一般限定从某些整数出发,反复迭代后结果必然落入一个点或若干点.
数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单.然而,按以下运算顺序,就可以观察到这个最简单的黑洞值：设定一个任意数字串,数出这个数中的偶数个数,奇数个数,及这个数中所包含的所有位数的总数,例如：1234567890,
偶：数出该数数字中的偶数个数,在本例中为2,4,6,8,0,总共有 5 个. 　　
奇：数出该数数字中的奇数个数,在本例中为1,3,5,7,9,总共有 5 个. 　　
总：数出该数数字的总个数,本例中为 10 个. 　　
新数：将答案按 “偶-奇-总” 的位序,排出得到新数为：5510. 　　
重复：将新数5510按以上算法重复运算,可得到新数：134. 　　
重复：将新数134按以上算法重复运算,可得到新数：123. 　　
结论：对数1234567890,按上述算法,最后必得出123的结果,我们可以用计算机写出程序,测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123.换言之,任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞.
三位数黑洞495
只要你输入一个三位数,要求个,十,百位数字不相同,如不允许输入111,222等.那么你把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出最大数和最小数,两者相减得到一个新数,再按照上述方式重新排列,再相减,最后总会得到495这个数字,人称：卡普雷卡尔黑洞. 　　
举例：输入352,排列得最大数位532,最小数为235,相减得297；再排列得972和279,相减得693；接着排列得963和369,相减得594；最后排列得到954和459,相减得495.
四位数黑洞6174
把一个四位数的四个数字由小至大排列,组成一个新数,又由大至小排列排列组成一个新数,这两个数相减,之后重复这个步骤,只要四位数的四个数字不重复,数字最终便会变成 6174. 　　
例如 3109,9310 - 0139 = 9171,9711 - 1179 = 8532,8532 - 2358 = 6174.而 6174 这个数也会变成 6174,7641 - 1467 = 6174. 　　
任取一个四位数,只要四个数字不全相同,按数字递减顺序排列,构成最大数作为被减数；按数字递增顺序排列,构成最小数作为减数,其差就会得6174；如不是6174,则按上述方法再作减法,至多不过10步就必然得到6174. 　　
如取四位数5679,按以上方法作运算如下： 　　
9765-5679=4086 8640-4068=4572 7542-2457=5085 　　
8550-5058=3492 9432-2349=7083 8730-3078=5652 　　
6552-2556=3996 9963-3699=6264 6642-2466=4176 　　
7641-1467=6174 　　
那么,出现6174的结果究竟有什么科学依据呢? 　　
设M是一个四位数而且四个数字不全相同,把M的数字按递减的次序排列,记作M(减)； 　　
然后再把M中的数字按递增次序排列,记作M增,记差M(减)-M(增)=D1,从M到D1是经过上述步骤得来的,我们把它看作一种变换,从M变换到D1记作：T(M)= D1把D1视作M一样,按上述法则做减法得到D2 ,也可看作是一种变换,把D1变换成D2, 　　
记作：T(D1)= D2 　　
同样D2可以变换为D3；D3变换为D4……,既T(D2)= D3, T(D3)= D4…… 　　
现在我们要证明,至多是重复7次变换就得D7=6174.
证明
　　证：四位数总共有9999-999=9000个,其中除去四个数字全相同的,余下9000-10=8990个数字不全相同．我们首先证明,变换T把这8990个数只变换成54个不同的四位数． 　　
设a、b、c、d是M的数字,并： 　　
a≥b≥c≥d 　　因为它们不全相等,上式中的等号不能同时成立．
我们计算T(M) 　　M(减)=1000a+100b+10c+d 　　M(增)=1000d+100c+10b+a 　　T(M)= D1= M(减)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c) 　　我们注意到T(M)仅依赖于（a-d）与（b－c）,因为数字a,b,c,d不全相等,因此由a≥b≥c≥d可推出；a-d>0而b-c≥0． 　　此外b、c在a与d之间,所以a-d≥b-c,这就意味着a-d可以取1,2,…,9九个值,并且如果它取这个集合的某个值n,b-c只能取小于n的值,至多取n． 　　例如,若a-d=1,则b-c只能在0与1中选到,在这种情况下,T(M)只能取值： 　　999×(1)+90×(0)=0999 　　999×(1)+90×(1)=1089 　　类似地,若a-d=2, T(M)只能取对应于b-c=0,1,2的三个值．把a-d=1,a-d=2,…,a-d=9的情况下b-c所可能取值的个数加起来,我们就得到2+3+4+…+10=54 　　这就是T(M)所可能取的值的个数．在54个可能值中,又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值,这些数值再变换T(M)中都对应相同的值（数学上称这两个数等价）,剔除等价的因数,在T(M)的54个可能值中,只有30个是不等价的,它们是： 　　9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550, 　　8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544． 　　对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,至多6步就出现6174这个数．证毕．
假设有一个各位数字互不相同的四位数,把所有数字从大到小排序后得到a,从小到大排序后得到b,然后用a-b替换原来这个数,并且继续操作.例如,从1234出发,依次可以得到4321-1234=3087,8730-378=8352,8532-2358=6174.有趣的是,7641-1467=6174,回到它自己.
输入
样例输入：
1234
输入一个n位数.输入保证在循环之前最多只会产生1000个整数.
输出
样例输出：
1234->3087->8352->6174->6174
输出操作序列,直到出现循环（即新得到的数曾经得到过）.
样例输入1234样例输出1234->3087->8352->6174->6174提示
两个问题：如何得到下一个数?如何检查这个数是否已经出现过?
第1个问题需要把各个数字排序,因此首先需要把各个数字提取出来.使用冒泡排序的方法,可以方便地把一个数组按照从小到大或从大到小的顺序排序.第2步是逐个生成各仩数,并判断是否曾经生成过.

来源
HSFZOI-LESSON