x-y／根号下（x^2+y^2）,这个表达式为什么小于等于2?

Question

x-y／根号下（x^2+y^2）,这个表达式为什么小于等于2?

Answer 1

（x+y）²≥0
x²+y²+2xy≥0
x²+y²≥-2xy
2x²+2y²≥x²+y²-2xy【两边同加上x²+y²】
2(x²+y²）≥(x-y)²
2≥（x-y)²/(x²+y²）
于是-√2≤(x-y)/√(x²+y²）≤√2【你只要≤√2】
……………………………………或直接柯西不等式
(x²+y²)[1²+(-1)²]≥(x-y)²
2(x²+y²)≥(x-y)²
以下同上