（2012•黄州区模拟）设平面内两定点F1（-5，0），F2（5，0），直线PF1和PF2相交于点P，且它们的斜率之积为定值-45．（Ⅰ）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设M（0，15），N为抛物线C2：y=x2上的

Question

（2012•黄州区模拟）设平面内两定点F₁（-√(5)，0），F₂（√(5)，0），直线PF₁和PF₂相交于点P，且它们的斜率之积为定值-(4)/(5)．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，(1)/(5)），N为抛物线C₂：y=x²上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交曲线C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

（1）设点P（x，y），
依题意则有(y)/(x+√(5))•(y)/(x−√(5))＝−(4)/(5)，(x≠±√(5))，
整理得动点P的轨迹C₁的方程：(x2)/(5)+(y2)/(4)＝1，（x≠±√(5)）．…（4分）
（2）设N（t，t²），则PQ的方程为：y-t²=2t（x-t），
∴y=2tx-t²，联立方程组

y＝2tx−t2

(x2)/(5)+(y2)/(4)＝1

，
消去y整理得：，有

作业帮用户 2017-10-27

问题解析

（1）设点P（x，y），依题意则有(y)/(x+√(5))•(y)/(x−√(5))＝−(4)/(5)，(x≠±√(5))，由此能求出动点P的轨迹C₁的方程．
（2）设N（t，t²），则PQ的方程为：y-t²=2t（x-t），联立方程组

y＝2tx−t2

(x2)/(5)+(y2)/(4)＝1

，利用根的判别式和韦达定理，结合题设条件能求出△MPQ面积的最大值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评：

本题考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式、韦达定理和点到直线的距离公式的灵活运用．

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