（08年平遥中学）（12分）图（1）是一个正方形的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线。请在图（2）的正方体中将MN、PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题。

Question

（ 08 年平遥中学） （ 12 分）  图（ 1 ）是一个正方形的表面展开图， MN 和 PQ 是两条面对角线。请在图（ 2 ）的正方体中将 MN 、 PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题。

（ 1 ）求 MN 与 PQ 所成角的大小；

（ 2 ）求四面体 M ― NPQ 的体积与正方体的体积之比；

（ 3 ）求二面角 M ― NQ ― P 的大小。

 

Answer 1

解析： （ 1 ）连结 MC 、 NC ，可得 PQ//NC ，

则 就是异面直线 MN 与 PQ 所成的角 ……… 2 分

∵ 是等边三角形    ∴

则 MN 与 PQ 所成的角等于 ……… 4 分

（ 2 ）不失一般性，设正方体的棱长为 1 ，则 （立方单位） ……… 5 分

∵ （立方单位） ……… 7 分

∴ ……… 8 分

( 也可以设正方体的棱长为 a)

（ 3 ）∵ PN ⊥平面 AQMP     ∴ 平面 MPQ ⊥平面 NPQ

作 MO ⊥ PQ 于 O ， ME ⊥ NQ 于 E ，连结 OE ，并设正方体的棱长为 1 ，则 MO ⊥平面 NPQ

∵ OE 是 ME 在平面 NPQ 内的射影

∴ OE ⊥ NQ

则 是二面角 M ― NQ ― P 的平面角 ……… 10 分

由 ～ ，得    ∴

∵    MO ⊥ OE    ∴

∴

则二面角 M ― NQ ― P 的大小为 ……… 12 分