在x轴上求做一点M,使△MAB的周长最小,求点M的坐标,A（1,2）,B（0,1）

Question

在x轴上求做一点M,使△MAB的周长最小,求点M的坐标,A（1,2）,B（0,1）

Answer 1

作点B关于x轴的对称点C,则点C的坐标是（0,－1）,∴AC的斜率＝（2＋1）/（1－0）＝3.
很明显,AC与x轴的交点就是满足条件的点M.
一、下面证明M为所要求的点：
∵B、C关于x轴对称,M在x轴上,∴由轴对称图形性质,有：MB＝MC.
∴此时△MAB的周长＝AB＋MB＋MA＝AB＋MC＋MA＝AB＋AC.
在x轴上取点M外的任意一点N,则A、C、N构成了一个三角形,∴NA＋NC＞AC.
∵B、C关于x轴对称,N在x轴上,∴由轴对称图形性质,有：NB＝NC.
∴△NAB的周长＝AB＋NA＋NB＞AB＋AC.
∴点M一定是AC与x轴的交点.
二、下面求点M的坐标：
令点M的坐标为（a,0）,则：AM的斜率＝AC的斜率＝3,∴（2－0）/（1－a）＝3,
∴2＝3－3a,∴3a＝1,∴a＝1/3.
∴点M的坐标是（1/3,0）.