（2012•开封二模）如图，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率e=12的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P，延长PF2交抛物线于点Q，M是抛物线C1上一

Question

（2012•开封二模）如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=(1)/(2)的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P，延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

（1）当m=1时，y²=4x，则F₁（-1，0），F₂（1，0）
设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），则c=1，又e=(c)/(a)=(1)/(2)，所以a=2，b²=3
所以椭圆C₂方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1（4分）
（2）因为c=m，e=(c)/(a)=(1)/(2)，则a=2m，b²=3m²，
设椭圆方程为(x2)/(4m2)+(y2)/(3m2)=1
由

(x2)/(4m2)+(y2)/(3m2)=1

y2=4mx

，得3x²+16mx-12m²=0（6分）
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=(2m)/(3)代入抛物线方程得y_P=(2√(6))/(3)m，
即P（(2m)/(3)，

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作业帮用户 2017-10-12

问题解析

（1）当m=1时，y²=4x，则F₁（-1，0），F₂（1，0）．设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），由题设条件知c=1，a=2，b²=3，由此可知椭圆C₂方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．
（2）因为c=m，e=(c)/(a)=(1)/(2)，则a=2m，b²=3m²，设椭圆方程为(x2)/(4m2)+(y2)/(3m2)＝1，由

(x2)/(4m2)+(y2)/(3m2)＝1

y2＝4mx

，得3x²+16mx-12m²=0，得x_P=(2m)/(3)代入抛物线方程得P（(2m)/(3)，(2√(6)m)/(3)），由此得m=3，由此可求出△MPQ面积的最大值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．

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