关于抛物线的,急已知抛物线y=ax2+bx+c经过B（12,0）和C（0,-6）对称轴x=2（1）A为抛物线与x轴的另一交点,点D在线段AB上且AD=AC若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一

Question

关于抛物线的,急
已知抛物线y=ax2+bx+c经过B（12,0）和C（0,-6）对称轴x=2
（1）A为抛物线与x轴的另一交点,点D在线段AB上且AD=AC若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,线段PQ被直线CD垂直平分?若存在求出此时的时间t和点Q的运动速度
（2）在（1）的结论下,直线x=1上是否存在点M,使三角形MPQ为等腰三角形,若存在,求出所有点M的坐标.

Answer 1

分析：（1）由题意抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0,-6）,对称轴为x=2,根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；假设存在,设出时间t,则根据线段PQ被直线CD垂直平分,再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t,看t是否存在；
（2）假设直线x=1上是存在点M,使△MPQ为等腰三角形,此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．
算抛物线解析式时
方法一：∵抛物线过C（0,-6）
∴c=-6,即y=ax²+bx-6
由 {-b/2a=2,144a+12b-6=0
解得：a= 1/16,b=- 1/4
∴该抛物线的解析式为y= 1/16x²-1/4x-6
方法二：∵A、B关于x=2对称
∴A（-8,0）
设y=a（x+8）（x-12）
C在抛物线上
∴-6=a×8×（-12）
即a= 1/16
∴该抛物线的解析式为：y= 1/16x²-1/4x-6；
存在,设直线CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中,AC=√( 8²+6²)=10=AD,
∴点D在对称轴上,连接DQ,显然∠PDC=∠QDC
由已知∠PDC=∠ACD,
∴∠QDC=∠ACD,
∴DQ∥AC
∴DB=AB-AD=20-10=10,
∴DQ为△ABC的中位线,
∴DQ= 1/2AC=5,
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5,
∴t=5÷1=5（秒）,
∴存在t=5（秒）时,线段PQ被直线CD垂直平分
在Rt△BOC中,BC=√( 6²+12²)=6√5,
而DQ为△ABC的中位线,
∴CQ=3√ 5,
∴点Q的运动速度为每秒 3√5/5单位长度；
（2）存在,过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9
在Rt△PQH中,PQ= √(9²+3²)=3√10
①当MP=MQ,即M为顶点,
设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0）,
则：{-6=b,0=2k+b
解得：{b=-6,k=3
∴y=3x-6
当x=1时,y=-3,
∴M1（1,-3）
②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点．
设直线x=1上存在点M（1,y）,
有勾股定理得：4²+y²=90
即 y=±√74
∴M2（1,√74）,M3(1,-√74)
③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点,
过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F（1,-3）
设直线x=1存在点M（1,y）,由勾股定理得：
（y+3）²+5²=90即y= -3 ±√65
∴ M4(1,-3+√65)M5(1,-3-√65)
综上所述：存在这样的五点：
M1（1,-3）,M2（1,√74）,M3(1,-√74)M4(1,-3+√65)M5(1,-3-√65)．
点评：此题是一道综合题,难度较大,主要考查二次函数的性质,用待定系数法求函数的解析式,还考查等腰三角形的性质及勾股定理,同时还让学生探究存在性问题,对待问题要思考全面,学会分类讨论的思想．