已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是正三角形．动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．（1）求证：△BMP∽△CPQ；（2）设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关

Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是正三角形．动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
（1）求证：△BMP∽△CPQ；
（2）设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，
∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．
∴△BMP∽△CQP；
（2）∵△BMP∽△CQP，
∴(PC)/(BM)＝(CQ)/(BP)，
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y，
∴(x)/(4)＝(4−y)/(4−x)，
∴y=(1)/(4)x²-x+4；
（3）△PQC为直角三角形，
理由是：
∵y=(1)/(4)（x-2）²+3，
∴当y取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC而∠MPQ=60°．
∴∠CPQ=30°．
∴∠PQC=90°．
∴△PQC为直角三角形．