在计算机上作大型科学计算，需要对十进制的xj的小数点后第六位作四舍五入，得到xj的近似值yj．则误差εj=xj-yj在（-0.5×10-5，0.5×10-5）内随机取值．视εj为此区间内服从均匀分布的随机变量

Question

在计算机上作大型科学计算，需要对十进制的x_j的小数点后第六位作四舍五入，得到x_j的近似值y_j．则误差ε_j=x_j-y_j在（-0.5×10^-5，0.5×10^-5）内随机取值．视ε_j为此区间内服从均匀分布的随机变量，累计误差为ηn＝

n

j＝1

εj．求：
（1）ε₁+ε₂的分布；
（2）利用中心极限定理，当n=10000时，有99.7%以上的把握给出|η_n|的近似值（估计上界）．

Answer 1

（1）由题意，知（ɛ₁，ɛ₂）服从二维均匀分布，且设其概率密度函数为f（x，y），则
f(x，y)＝

(1)/(4a2)	，(x，y)∈D
0	，其它

其中，D={（x，y）|-a＜x＜a，-a＜y＜a}，a=0.5×10^-5
设ε₁+ε₂的分布函数为Fɛ1+ɛ2(z)，则
Fɛ1+ɛ2(z)=P（X+Y≤Z）=

∫∫

x+y≤z

f(x，y)dxdy
∴当z＜-2a时，由于f（x，y）=0，Fɛ1+ɛ2(z)＝0；
当-2a＜z＜0时，Fɛ1+ɛ2(z)=

∫

z+a−a

dx

∫

z−x−a

(1)/(4a2)dy=(1)/(2)(1+(z)/(2a))2；
当0＜z＜2a时，Fɛ1+ɛ2(z)=1−P(X+Y＞z)＝1−

∫

az−a

dx

∫

az−x

(1)/(4a2)dy=1−(1)/(2)(1−(z)/(2a))2；
当z＞2a时，Fɛ1+ɛ2(z)＝1
∴Fɛ1+ɛ2(z)=

1	，z＞2a
1−(1)/(2)(1−(z)/(2a))2	，0＜z＜2a
(1)/(2)(1+(z)/(2a))2	，−2a＜z＜0
0	，z＜−2a

（2）由于ɛ_j～U（-0.5×10^-5，0.5×10^-5）
∴Eɛ_j=0，Dɛ_j=σ2＝((0.5×10−5)2)/(3)
∴Eη_n=0，Dηn＝nσ2
∴根据列维-林德伯格中心极限定理，得
P{|(ηn−Eηn)/(Dηn)|＜k}=P{|ηn|＜k

n

σ}≈2Φ（k）-1
取k=3，则此概率近似为0.9774，即有有99.7%以上的把握断言
|ηn|＜3

n

0.5*10−5(1)/(3)
∴当n=10000时，|ηn|＜3

10000

0.5*10−5(1)/(3)≈0.0087