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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1. (1)证明:EM⊥BF; (2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值. |
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答案和解析
(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM伡平面ABC, ∴EA⊥BM. 又∵BM⊥AC,EA∩AC=A, ∴BM⊥平面ACFE, 而EM伡平面ACFE, ∴BM⊥EM. ∵AC是圆O的直径, ∴∠ABC=90°. 又∵∠BAC=30°,AC=4, ∴ ![]() ∵EA⊥平面ABC,FC∥EA, ![]() ∴FC⊥平面ABCD. ∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形. ∴∠EMA=∠FMC=45°. ∴∠EMF=90°, 即EM⊥MF(也可由勾股定理证得). ∵MF∩BM=M, ∴EM⊥平面MBF. 而BF伡平面MBF, ∴EM⊥BF. (2)延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,连接FH. 由(1)知FC⊥平面ABC,BG伡平面ABC, ∴FC⊥BG. 而FC∩CH=C, ∴BG⊥平面FCH. ∵FH伡平面FCH, ∴FH⊥BG, ∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的 二面角的平面角. 在Rt△ABC中, ∵∠BAC=30°,AC=4, ∴ ![]() 由 ![]() ∵ ![]() 又∵△GCH~△GBM, ∴ ![]() ![]() ∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°. ∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 ![]() |
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