如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Question

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM伡平面ABC，
∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，
∴BM⊥平面ACFE， 而EM伡平面ACFE，
∴BM⊥EM．
∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，
∴ ，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，
∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．
∴∠EMF=90°，
即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，
∴EM⊥平面MBF． 而BF伡平面MBF，
∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG伡平面ABC，
∴FC⊥BG． 而FC∩CH=C，
∴BG⊥平面FCH．
∵FH伡平面FCH，
∴FH⊥BG，
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的 二面角的平面角．
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，AC=4，
∴ ．  
由 ，得GC=2．
∵ ．
又∵△GCH～△GBM，
∴ ，则 ．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 ．