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某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了阶梯水价计费方法,具体为:每户每月用水量不超过a吨的每吨2元;超过a吨而不超过(a+2)吨的,超出a吨的部分每吨4元;超过(a+2)吨

题目详情
某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了阶梯水价计费方法,具体为:每户每月用水量不超过a吨的每吨2元;超过a吨而不超过(a+2)吨的,超出a吨的部分每吨4元;超过(a+2)吨的,超出(a+2)吨的部分每吨6元.
(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系;
(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表:
月用水量x(吨) 3 4 5 6 7
频数 1 3 3 3 2
将12个月记录的各用水量的频率视为概率,若取a=4,用Y表示去年的月用水费用,求Y的分布列和数学期望(精确到元);
(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府决定适当下调a的值(3<a<4),小明家响应政府号召节约用水,已知他家前3个月的月平均水费为11元,并且前3个月用水量x的分布列为:
月用水量x(吨) 4 6 3
P
1
3
1
3
1
3
请你求出今年调整的a值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可得,
当0≤x≤a时,y=2x;
当a<x≤a+2时,y=2a+4(x-a)=4x-2a;
当x>a+2时,y=2a+8+6(x-a-2)=6x-4a-4,
所以y与x的函数表达式为y=
2x,0≤x≤a
4x−2a,a<x≤a+2
6x−4a−4,x>a+2

(2)a=4时,y=
2x,0≤x≤4
4x−8,4<x≤6
6x−20,x>6

Y的可能取值为6,8,12,16,22,Y的分布列为:
Y 6 8 12 16 22
P
1
12
1
4
1
4
1
4
1
6
所以E(Y)=6×
1
12
+8×
1
4
+12×
1
4
+16×
1
4
+22×
1
6
=
79
6
≈13.
(3)依题意,
1
3
[(4×4-2a)+(6×6-4a-4)+6]=11,
得54-6a=33.
解得a=3.5.
故今年调整的a值为3.5.
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