已知，矩形ABCD中，BC=2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P在对角线BD上，连接AP，以点P为顶点作∠EPF=90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F．（1）当∠PBA与∠PAB互余（如图a）时，求证：BE-12MF=12AB

Question

已知，矩形ABCD中，BC=2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P在对角线BD上，连接AP，以点P为顶点作∠EPF=90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F．
（1）当∠PBA与∠PAB互余（如图a）时，求证：BE-(1)/(2)MF=(1)/(2)AB；
（2）当∠PBA与∠PAB相等（如图b）时，求证：BE、MF、AB间的数量关系为

BE-2MF=(1)/(2)AB

BE-2MF=(1)/(2)AB

．
（3）在（2）的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE：AF=2：3，EF=√(85)，求DG的长．

Answer 1

（1）如图a，取AB的中点N，连接PN，PM．
∵∠PBA与∠PAB互余，
∴∠PBA+∠PAB=90°，
∴∠APB=90°，
∴∠APD=90°．
∵N是AB的中点，M是AD的中点，
∴PN=BN=AN=(1)/(2)AB，AM=DM=PM=(1)/(2)AD．
∴∠NAP=∠NPA，∠MAP=∠MPA．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC．
∵BC=2AB，
∴AD=2AB，
∴(AB)/(AD)＝(1)/(2)，
∴∠NAP+∠MAP=90°，
∴∠NPA+∠MPA=90°，
即∠NPM=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠NPM=∠EPF，
∴∠NPM-∠EPM=∠EPF-∠EPM，
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PBA+∠PAB=90°，∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠ABP=∠DAP．
∵PN=BN，AM=PM，
∴∠ABP=∠PBA，∠DAP=∠MPA，
∴∠NEP=∠MFP．
∴△PNE∽△PMF，
∴(NE)/(MF)＝(PN)/(PM)＝((1)/(2)AB)/((1)/(2)AD)．
∵(NE)/(MF)＝(1)/(2)，
∴NE=(1)/(2)MF．
∵BE-NE=BN，
∴BE-(1)/(2)MF=BN，
∵M是AD的中点，
∴AM=(1)/(2)AD，
∴AM=AB．
∵N是AB的中点，
∴BN=(1)/(2)AB，
∴BE-(1)/(2)MF=(1)/(2)AB．
（2）BE-2MF=(1)/(2)AB
理由：如图b，取AB的中点N，连接PN，PM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵∠PBA=∠PAB，
∴PA=PB．
∵N是AB的中点，
∴PN⊥AB，
∴∠ANP=90°．
∵∠PAB+∠PAD=90°，∠PBA+∠PBC=90°，
∴∠PAD=∠PBC，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PA=PD．
∵M是AD的中点，
∴PM⊥AD．
∴∠PMA=90°．
∴四边形PMAN是矩形，
∴∠NPM=90°．AN=PM，PN=AM．
∵∠EPF=90°
∴∠NPM=∠EPF，
∴∠NPM-∠EPM=∠EPF-∠EPM，
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PNE=∠PMF=90°，
∴△PNE∽△PMF，
∴(NE)/(MF)＝(PN)/(PM)＝((1)/(2)AD)/((1)/(2)AB)．
∵AD=2AB，
∴NE=2MF．
∵BE-NE=BN，
∴BE-2MF=BN，
∵N是AB的中点，
∴BN=(1)/(2)AB，
∴BE-2MF=(1)/(2)AB．
故答案为：BE-2MF=(1)/(2)AB；
（3）如图3，延长CD交FG于点H，设BE=2a，则AF=3a．
∵BE-2MF=

作业帮用户 2016-12-04

问题解析

（1）取AB的中点N，连接PN，PM，由∠PBA与∠PAB互余可以得出∠APB=90°，由直角三角形的性质就可以得出PN=BN=AN=

(1)/(2)AB，AM=DM=PM=(1)/(2)AD，就可以得出∠NPE=∠MPF，∠NEP=∠MFP，就有△PNE∽△PMF，得出NE=(1)/(2)MF，就可以得出结论；
（2）取AB的中点N，连接PN，PM，由条件可以得出△PNE∽△PMF，得出NE=(1)/(2)MF，就可以得出结论BE-2MF=(1)/(2)AB；
（3）延长CD交FG于点H，设BE=2a，则AF=3a．由BE-2MF=(1)/(2)AB就可以求出AB=(8)/(3)a，进而得出AD=(16)/(3)a，AE=(2)/(3)a，FD=(7)/(3)a，在Rt△AEF中，由勾股定理可以求出a的值，再由△AEF∽△DHF和△GDH∽△GBE由相似三角形的性质就可以求出结论．

名师点评

本题考点：

四边形综合题．

考点点评：

本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时合理运用相似三角形的性质求解是关键．

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