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在四棱锥p-abcd中底面是直角梯形,且AD平行BC,角BAD=90度,PA垂直底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别是PC,PB的中点,求CD与平面ADMN所成的角的正弦值
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在四棱锥p-abcd中 底面是直角梯形,且AD平行BC,角BAD=90度,PA垂直底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,
M,N分别是PC,PB的中点,求CD与平面ADMN所成的角的正弦值
M,N分别是PC,PB的中点,求CD与平面ADMN所成的角的正弦值
▼优质解答
答案和解析
取AD的中点E
连接BE NE
因为PA垂直底面ABCD
所以PA垂直BA
因为PA=BA
所以PAB是等腰直角三角形
因为N是PB的中点
所以NA⊥NB（三线合一）
因为E是AD的中点
所以ED=1/2AD=BC
因为ED//BC
所以四边形EBCD是平行四边形
所以BE//CD BE=CD
所以∠NED为CD与平面ADMN所成的角
设PA=AD=AB=2BC=2
根据勾股定理
得出PB=√(PA^2+AB^2)=2√2
NB=√2
BE=√(AB^2+AE^2)=√5
sin∠NED=NB/BE=√2/√5=√10/5
即CD与平面ADMN所成的角的正弦值为√10/5
连接BE NE
因为PA垂直底面ABCD
所以PA垂直BA
因为PA=BA
所以PAB是等腰直角三角形
因为N是PB的中点
所以NA⊥NB（三线合一）
因为E是AD的中点
所以ED=1/2AD=BC
因为ED//BC
所以四边形EBCD是平行四边形
所以BE//CD BE=CD
所以∠NED为CD与平面ADMN所成的角
设PA=AD=AB=2BC=2
根据勾股定理
得出PB=√(PA^2+AB^2)=2√2
NB=√2
BE=√(AB^2+AE^2)=√5
sin∠NED=NB/BE=√2/√5=√10/5
即CD与平面ADMN所成的角的正弦值为√10/5
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