两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°）角度，如图2所示．（1）利用图2证明AC=BD且

Question

两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°）角度，如图2所示．
（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；
（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值．

Answer 1

（1）证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，

OA=OB

∠AOC=∠BOD

OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
∵∠DBO+∠GOB=90°，
∵∠OGB=∠AGE，
∴∠CAO+∠AGE=90°，
∴∠AEG=90°，
∴BD⊥AC．

（2） 如图3中，设AC=x，

∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC²+BC²=AB²，
∴x²+（x+17）²=25²，
解得x=7，
∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，
∴∠α=∠ABC，
∴sinα=sin∠ABC=(AC)/(AB)=(7)/(25)．