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设A.B是同阶正定矩阵,证明:det(λA-B)=0的根都是正根
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设A.B是同阶正定矩阵,证明:det(λA-B)=0的根都是正根
▼优质解答
答案和解析
仅需证明 A^(-1)B 是正定矩阵即可
det(λA-B)=0 也是det(λE-A^(-1)B)=0 的根
A.B是正定矩阵,A^(-1)也是正定矩阵
对任意非零向量x有 ,设x‘A^(-1)x＞0 x‘Bx＞0 ,注意 c=xx'=>0 c实际上是x各分量的平方和)
x'A^(-1)Bx=[x'A^(-1)x][ x'Bx ]/c＞0
所以 A^(-1)B正定
det(λA-B)=0 也是det(λE-A^(-1)B)=0 的根
A.B是正定矩阵,A^(-1)也是正定矩阵
对任意非零向量x有 ,设x‘A^(-1)x＞0 x‘Bx＞0 ,注意 c=xx'=>0 c实际上是x各分量的平方和)
x'A^(-1)Bx=[x'A^(-1)x][ x'Bx ]/c＞0
所以 A^(-1)B正定
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