如图,△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点D,AD的垂直平分线交BC的延长线于点E,交AD于点F,求证：DE方=BE*CE.

Question

如图,△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点D,AD的垂直平分线交BC的延长线于点E,交AD于点F,求证：DE方=BE*CE.

Answer 1

连接AE
∵EF是线段AD的垂直平分线
∴AE=DE
∴∠EAD=∠EDA
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE
=∠CAD+∠EDA
=∠CAD+∠CDA
∵∠ACE=∠CAD+∠CDA
∴∠BAE=∠ACE
又∵∠AEB=∠CEA
∴△ABE∽△CAE
∴AE/CE=BE/AE
∴AE²=BE×CE
又∵AE=DE
∴DE²=BE×CE