若a,b,c是△ABC的三条边,且a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,则△ABC是怎样的三角形?

Question

若a,b,c是△ABC的三条边,且a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,则△ABC是怎样的三角形?

Answer 1

a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
两边乘2
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则至少有一个小于0,不成立.所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c
所以是等边三角形