如何证明斜率为k的直线与椭圆X^2/a+Y^2/b=1相切,则切线方程为y=kx+根号下ak^2+b

Question

如何证明斜率为k的直线与椭圆X^2/a+Y^2/b=1相切,则切线方程为y=kx+根号下ak^2+b

Answer 1

令切线为y=kx+m
将y=kx+m代入
x^2/a+y^2/b=1,即bx^2+ay^2-ab=0得：
bx^2+a(kx+m)^2-ab=0
(ak²+b)x^2+2akmx+am^2-ab=0
判别式△=0
(2akm)^2-4(ak^2+b)(am^2-ab)=0
(akm)^2-(ak^2+b)(am^2-ab)=0
(ak)m^2-(a^2k²+ab)m^2 +ab(ak^2+b)=0
-abm^2 +ab(ak^2+b)=0
m^2=(ak^2+b)
m=±√(ak^2+b)
y=kx-√(ak^2+b),或y=kx+√(ak^2+b)