如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a；为了要让铁片能穿过直径为8910a的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；（1）如图2，M、N

Question

如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a；为了要让铁片能穿过直径为 (89)/(10) a 的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；
（1）如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ，则此时铁片的形状是______，给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；
（2）如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；
①当BE=DF= (1)/(5) a 时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；
②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围______．

Answer 1

（1）是菱形，
如图，过点M作MG⊥NP于点G，
∵M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵ S MNPQ =(1)/(2) S ABCD =(1)/(2) ×2a×a= a 2 ，
MN=

((1)/(2) a) 2 + a 2

=(5)/(2) a ，
∴MG= (SMNPQ)/(MN) =(2)/(5)

5

a＜(89)/(10) a ，
∴此时铁片能穿过圆孔；

（2）①如图，过点A作AH⊥EF于点H，过点E作EK⊥AD于点K ，
显然AB= a＞(89)/(10) a ，
故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔，
过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可，
∵BE=AK= (1)/(5) a ，EK=AB=a，AF= AD-DF=(9)/(5) a ，
∴KF= AF-AK=(8)/(5) a ，EF=

a 2 + ((8)/(5) a) 2

=(89)/(5) a ，
∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，
∴△AHF ∽ △EKF，
∴ (AH)/(EK) =(AF)/(EF) ，可得AH= (989)/(89) a＞(89)/(10) a ，
∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔；
② 0＜BE＜(39-389)/(64) a 或 (39+389)/(64) a＜BE＜2a ．