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求函数f(x)=-x^2+2ax+3在区间2,4内的最大值g(a)
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求函数f(x)=-x^2+2ax+3在区间2,4内的最大值g(a)
▼优质解答
答案和解析
d=4a^2+12>0可知,f(x)恒与x轴有交点
则当对称轴a属于[2,4]时,其最大值即为f(x)的顶点纵坐标.
此时有：
g(a)=f(a)=a^2+3
由于f(x)的二次项系数小于0,开口向下,故有当对称轴在x=2左边时,[2,4]段f(x)为减函数,最大值为f(2),即g(a)=f(2)=4a-1
同理,当对称轴在x=4左边时,f(x)[2,4]段为增函数,最大值为f(4),即g(a)=f(4)=8a-13
故有
当a属于(负无穷,2)时,g(a)=4a-1
当a属于[2,4]时,g(a)=a^2+3
当a属于(4,正无穷)时,g(a)=8a-13
则当对称轴a属于[2,4]时,其最大值即为f(x)的顶点纵坐标.
此时有：
g(a)=f(a)=a^2+3
由于f(x)的二次项系数小于0,开口向下,故有当对称轴在x=2左边时,[2,4]段f(x)为减函数,最大值为f(2),即g(a)=f(2)=4a-1
同理,当对称轴在x=4左边时,f(x)[2,4]段为增函数,最大值为f(4),即g(a)=f(4)=8a-13
故有
当a属于(负无穷,2)时,g(a)=4a-1
当a属于[2,4]时,g(a)=a^2+3
当a属于(4,正无穷)时,g(a)=8a-13
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