已知过点A（-4,0）的动直线L与抛物线C：X平方=2PY（p＞0）相交于B.C两点.当L得斜率是1\2时,向量AC=4向量AB(1)求抛物线G的方程（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.为什么是范

Question

已知过点A（-4,0）的动直线L与抛物线C：X平方=2PY（p＞0）相交于B.C两点.当L得斜率是1\2时,向量AC=4向量AB (1)求抛物线G的方程（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.为什么是范围?

Answer 1

因为直线L是动直线
设动直线L的斜率为k,线段BC的中点为M,则M坐标（Xb+Xc/2,Yb+Yc/2）
直线L方程：y=k(x+4),与抛物线方程联立,消去y,得x²/4-kx-4k=0·······（1）,
根据韦达定理,Xb+Xc=4k,则Xb+Xc/2=2k,Yb+Yc/2=kXb+4k+kXc+4k/2=2k²+4k,于是M坐标（2k,2k²+4k）
线段BC的中垂线斜率为-1/k,所以其方程为y-(2k²+4k)=(-1/k)(x-2k)
令x=0,y的值即为b,于是b=2k²+4k+2=2(k+1)²
动直线L与抛物线C需要有两个交点,方程（1）△＞0,求出k的取值范围(-∞,-4)∪(0,+∞)
所以b的取值范围为(2,+∞)