高一向量问题,需映射知识.（字母代表的都是向量）已知向量a=（1,1）,b=（1,0）,c满足a*c=0,且|a|=|c|,b*c>0(1）求向量c（2）若映射f:(x,y)→（x',y')=xa+yb(x,y,x',y'∈R;①求映射f下（1,2）的原像②若将f(x

Question

高一向量问题,需映射知识.（字母代表的都是向量）
已知向量a=（1,1）,b=（1,0）,c满足a*c=0,且|a|=|c|,b*c>0
(1）求向量c
（2）若映射f:(x,y)→（x',y')=xa+yb(x,y,x',y'∈R;①求映射f下（1,2）的原像②若将f(x,y)看做点的坐标,问是否存在直线L,使得L上一点在f作用下的点仍在L上.若存在求出L的方程,否则说明理由.
（第一问和第二问的第一小问我已经做出,求大侠做出第二小问,谢谢!）

Answer 1

既然如此,我就抓住重点,直接答第二小问.
(x' ,y') = ( x+y ,x)
假设直线存在,
设斜率存在,y = k x + b
则直线上的点是 ( x ,k x + b )
映射后是 ( k x + x + b,x )
映射后的点也在原直线上,所以
x = k ( k x + x + b ) + b
对于任意 x∈R 都成立,
即 k ( k x + x + b ) - x + b 恒等于零,无解.
若斜率不存在,直线为 x = c
直线上的点是 (c ,y)
映射后是 (c + y,c)
映射后的点也在直线上,所以 c + y = c 恒成立,也无解.
所以不存在.