设A,B是n阶矩阵,并且AB=BA,证明如果A与B均可对角化矩阵,则存在P,P^-1AP余P^-1BP同时为对角矩阵.自己的,不要网上随便当来的,我都看了.

Question

设A,B是n阶矩阵,并且AB=BA,证明如果A与B均可对角化矩阵,则存在P,P^-1AP余P^-1BP同时为对角矩阵.
自己的,不要网上随便当来的,我都看了.

Answer 1

那说明你什么都没看懂,再让别人写一遍又有什么用呢
你得自己动手一步一步推导,看不懂的步骤作为一道独立的习题去证明,难度总比直接证原题要低
如果你不确信你看到的解法是否正确,我给你个大体过程,证明你自己补
1. 取可逆阵X使得X^{-1}AX=A1是对角阵,并且要求A1的重特征值都排在相邻的位置
2. 那么A1=X^{-1}AX和B1=X^{-1}BX乘法可交换
3. 把A1分块成diag{λ1I,λ2I,...,λkI},每块恰有一个特征值（不计重数）,不同块的特征值不同,再把B1按同样的方式分块得到
B11 B12 ... B1k
B21 B22 ... B2k
...
Bk1 Bk2 ... Bkk
4. 把A1B1和B1A1都用分块矩阵乘法乘出来,对比一下非对角块得到所有非对角块都是0
5. 把B1的每个对角块各自对角化即可,这个过程不会破坏A1里的对角块