椭圆与直线已知椭圆x^2/4+y^2/9=1,一组平行直线的斜率是3/2.当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上

Question

椭圆与直线
已知椭圆x^2/4+y^2/9=1,一组平行直线的斜率是3/2.当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上

Answer 1

证明：设 线段中点的坐标为（x,y）
平行直线的方程为y=3/2x+a
平行直线和椭圆相交的两个交点为M（x1,y1）N（x2,y2）
则 x=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)/2
因为点M N既在直线上,又在椭圆上,所以
(y1-y2)/(x1-x2)=3/2
x1^2/4+y1^2/9=1 ①
x2^2/4+y2^2/9=1 ②
用①-②得
(x1+x2)(x1-x2)2/4+(y1+y2)(y1-y2)2/9=0
(x1+x2)(x1-x2)2/4=-(y1+y2)(y1-y2)2/9
(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/(y1+y2)9/4
3/2=-(x1+x2)/(y1+y2)9/4
3/2=-x/y
所以 y=-2/3 * x
所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.