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已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,DE=y。(1)写出y与x之间的函数关

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已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,
DE=y。
(1)写出y与x之间的函数关系式(     ) ;
(2)若点E与点A重合,则x的值为(     );
(3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由。
▼优质解答
答案和解析
(1 )∵PE ⊥PM ,
∴∠EPM=90 °,
∴∠DPE+ ∠CPM=90 °,
又矩形ABCD ,
∴∠D=90 °,
∴∠DPE+ ∠DEP=90 °,
∴∠CPM= ∠DEP ,
又∠C= ∠D=90 °,
∴△CPM ∽△DEP ,

又CP=x ,DE=y ,AB=DC=4 ,
∴DP=4-x ,
又M 为BC 中点,BC=2 ,
∴CM=1 ,

则y=-x 2 +4x ;
(2 )当E 与A 重合时,DE=AD=2 ,
∵△CPM ∽△DEP ,

又CP=x ,DE=2 ,CM=1 ,DP=4-x ,
,即x 2 -4x+2=0 ,
解得:x=2+ 或x=2-
则x 的值为2+ 或2-
(3 )存在,过P 作PH ⊥AB 于点H,
 
∵点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上,
∴PD ′=PD=4-x ,ED ′=ED=y=-x2+4x ,EA=AD-ED=x2-4x+2 ,∠PD ′E= ∠D=90 °,
在Rt △D ′PH 中,PH=2 ,D ′P=DP=4-x ,
根据勾股定理得:D ′H=
∵∠ED ′A=180 °-90 °- ∠PD ′H=90 °- ∠PD ′H= ∠D ′PH ,∠PD ′E= ∠PHD ′=90 °,
∴△ED ′A ∽△D ′PH ,


整理得:2x 2 -4x+1=0 ,
解得:x=
当x= 或x= 时,
此时E 在DA 上或延长线上,符合题意,
则x= 或x= 时,点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上
故答案为:(1)y=-x 2 +4x ;(2)2+ 或2-