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已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,DE=y。(1)写出y与x之间的函数关
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已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x, DE=y。 (1)写出y与x之间的函数关系式( ) ; (2)若点E与点A重合,则x的值为( ); (3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由。 |
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▼优质解答
答案和解析
(1 )∵PE ⊥PM , ∴∠EPM=90 °, ∴∠DPE+ ∠CPM=90 °, 又矩形ABCD , ∴∠D=90 °, ∴∠DPE+ ∠DEP=90 °, ∴∠CPM= ∠DEP , 又∠C= ∠D=90 °, ∴△CPM ∽△DEP , ∴ ![]() 又CP=x ,DE=y ,AB=DC=4 , ∴DP=4-x , 又M 为BC 中点,BC=2 , ∴CM=1 , ∴ ![]() 则y=-x 2 +4x ; (2 )当E 与A 重合时,DE=AD=2 , ∵△CPM ∽△DEP , ∴ ![]() 又CP=x ,DE=2 ,CM=1 ,DP=4-x , ∴ ![]() 解得:x=2+ ![]() ![]() 则x 的值为2+ ![]() ![]() (3 )存在,过P 作PH ⊥AB 于点H, ![]() ∵点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上, ∴PD ′=PD=4-x ,ED ′=ED=y=-x2+4x ,EA=AD-ED=x2-4x+2 ,∠PD ′E= ∠D=90 °, 在Rt △D ′PH 中,PH=2 ,D ′P=DP=4-x , 根据勾股定理得:D ′H= ![]() ∵∠ED ′A=180 °-90 °- ∠PD ′H=90 °- ∠PD ′H= ∠D ′PH ,∠PD ′E= ∠PHD ′=90 °, ∴△ED ′A ∽△D ′PH , ∴ ![]() 即 ![]() 整理得:2x 2 -4x+1=0 , 解得:x= ![]() 当x= ![]() ![]() 此时E 在DA 上或延长线上,符合题意, 则x= ![]() ![]() 故答案为:(1)y=-x 2 +4x ;(2)2+ ![]() ![]() |
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