用拉格朗日定理证明,若x不等于1,则e的x次方>xe

Question

用拉格朗日定理证明,若x不等于1,则e的x次方>xe

Answer 1

令f(x)=e^x-ex,则f(x)在[1,+∞)上连续,在(1,+∞)可导
任取x>0,由拉格朗日中值定理知,至少存在一个ξ∈(1,x),使得
f'(ξ)=[f(x)-f(1)]/(x-1)
又f'(ξ)=(e^ξ)-e
且ξ∈(1,x)
∴e^ξ>e
∴f'(ξ)>0
∴[f(x)-f(1)]/(x-1)>0
f(x)>f(1)=0
∴e^x>ex