（本小题满分12分）如图，在多面体ABC-DEFG中，平面∥平面，⊥平面，,,∥．且,．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；

Question

（本小题满分12分）如图，在多面体ABC-DEFG中，平面 ∥平面 ，  ⊥平面 ， , , ∥ ．且 , ．

（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；

Answer 1

（1）略；（2）

解法一  向量法

由已知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，
则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），
E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）
（Ⅰ）

∴ ，所以BF∥CG．又BF 平面ACGD
故 BF//平面ACGD……………………6分
（Ⅱ） ，设平面BCGF的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，而平面ADGC的法向量
∴ ＝
故二面角D-CG-F的余弦值为 ．……………………12分
解法二：设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形， 所以MF//DE，且MF＝DE
又∵AB//DE，且AB＝DE  ∴MF//AB，且MF＝AB
∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，
又BF 平面ACGD
故 BF//平面ACGD……………6分
（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）
（Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG，即DE⊥面ADGC ，
∵MF//DE，且MF＝DE ， ∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则
显然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1
∴ ，∴MN＝
在直角三角形MNF中，MF＝2，MN
∴ ＝ ＝ ＝ ， = p://www.ks5u.com/gaokao/shanxi/ http://www.ks5u.com/gaokao/shanxi/
故二面角D-CG-F的余弦值为  ……………………12分