对n元方程组,下列正确的是A：若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解B；AX=0有非零解的充要条件是|A|=0CAX=b有唯一解的充要条件是r（A）=nD:若AX=b有两个不同的解,则AX=0有无穷多解.帮我每个选项都解

Question

对n元方程组,下列正确的是
A ：若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解
B； AX=0有非零解的充要条件是|A|=0
C AX=b有唯一解的充要条件是r（A）=n
D:若 AX=b有两个不同的解,则AX=0有无穷多解.
帮我每个选项都解释一下

Answer 1

题：对n元方程组,正确的说法有：
A ：若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解
B； AX=0有非零解的充要条件是|A|=0
C AX=b有唯一解的充要条件是r（A）=n
D:若 AX=b有两个不同的解,则AX=0有无穷多解.
设方程组有n元(n个未知数),有m个等式,
情况一：当m=n时,系数矩阵A为方阵.在此条件下讨论以下习题,答案是A,B,C,D
说明：
A) AX=0只有零解,说明|A|0,从而此项正确.
B）正确.
C）方阵满秩,等价于行列式非0.
D) 若 AX=b有两个不同的解,设为x1和x2.
则A(x1-x2)*常数k=0,于是AX=0有无数个解.
情况二：mn,这个很少见.类似讨论.此时选项 D正确.
A） 此时,方程的个数多于未知元的个数,即使AX=0只有一个解,即r(A)=n,还是可能出现两个互相矛盾的方程式,从而无解.于是A错.
同理 C错.
B) 此时|A|无意义.
D) 显然正确.理由见前述.