已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C异于O的两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线OA，OB的斜率之积为-13，求证：直线AB过x轴上一定点．

Question

已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为-(1)/(3)，求证：直线AB过x轴上一定点．

Answer 1

（1） 因为抛物线y²=2px（p>0）的焦点坐标为（1，0），
所以(p)/(2)=1，所以p=2．
所以抛物线C的方程为y²=4x．
（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A（(t2)/(4)，t），B（(t2)/(4)，-t），
因为直线OA，OB的斜率之积为-(1)/(3)，所以(t)/((t2)/(4))•(-t)/((t2)/(4))=-(1)/(3)，化简得t²=48．
所以（12，t），B（12，-t），此时直线AB的方程为x=12．----------------（7分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
联立方程，化简得ky²-4y+4b=0．------------------（9分）
根据韦达定理得到y_Ay_B=(4b)/(k)，
因为直线OA，OB的斜率之积为-(1)/(3)，所以得到x_Ax_B+3y_Ay_B=0．--------------------（11分）
得到(yA2)/(4)•(yB2)/(4)+2y_Ay_B=0，
化简得到y_Ay_B=0（舍）或y_Ay_B=-48．--------------------（12分）
又因为y_Ay_B=(4b)/(k)=-48，b=-12k，
所以y=kx-12k，即y=k（x-12）．
综上所述，直线AB过定点（12，0）．