如图所示，在倾角为37°的斜面上，一劲度系数为k=100N/m的轻弹簧一端固定在A点，自然状态时另一端位于B点．斜面上方有一半径R=0.2m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于C处

Question

如图所示，在倾角为37°的斜面上，一劲度系数为k=100N/m的轻弹簧一端固定在A点，自然状态时另一端位于B点．斜面上方有一半径R=0.2m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于C处，圆弧轨道的最高点为D．斜面AB段光滑，BC段粗糙且长度为0.4m．现将一质量为1kg的小物块从C点由静止释放，小物块将弹簧压缩了0.2m后速度减为零（不计小物块到达B处与弹簧碰撞时的能量损失）．已知弹簧弹性势能表达式E_k=(1)/(2)kx²，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．（计算结果可保留根号）求：
（1）小物块与斜面BC段间的动摩擦因数μ；
（2）小物块第一次返回BC面上时，冲到最远点E，求BE长；
（3）若用小物块将弹簧压缩，然后释放，要使小物块在CD段圆弧轨道上运动且不脱离圆弧轨道，则压缩时压缩量应满足的条件．

Answer 1

（1）由动能定理得：
mg（BC+x）sin37°-μmgcos37°BC-(1)/(2)kx2=0
代入数值解得：μ=0.5；
（2）设小物块最远将冲到E点，则由动能定理得：
(1)/(2)kx2−mg(x+BE)sin37°-μmgcos37°BE=0
解得：BE=0.08m，即最远冲到距B点为0.08m的E位置．
（3）要使小物块不脱离圆弧轨道，则小物块应到达图中与o水平的F点时速度减为零则有：
(1)/(2)kx2−mg(x+BC)sin37°−μmg37°BC＞0
(1)/(2)kx2−mg(x+BC)sin37°−μmg37°BC-mgRcos37°≤0
解得：(6+√(836))/(100)＜x≤(6+√(1156))/(100)
即：0.349m＜x≤0.4m
若恰过最高点D，则有：(1)/(2)kx2−mg(x+BC)sin37°−μmg37°BC-mg（R+Rcos37°）≥(1)/(2)mv²
又mg=m(v2)/(R)
解得：x≥(6+√(1756))/(100)
即：x≥0.479m；
答：（1）小物块与斜面BC段间的动摩擦因数μ=0.5；
（2）小物块第一次返回BC面上时，冲到最远点E，求BE长为0.08m；
（3）若用小物块将弹簧压缩，然后释放，要使小物块在CD段圆弧轨道上运动且不脱离圆弧轨道，则压缩时压缩量应满足的条件0.349m＜x≤0.4m
或x≥0.479m．