柯西不等式的证明Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)则恒有f(x)≥0.用二

Question

柯西不等式的证明
Cauchy不等式的形式化写法就是：
记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
我想知道的是 f(x) = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 后为什么会恒有 f(x) ≥ 0,谁能帮我证明下这步.
你最后一步是怎么变的，

Answer 1

根据f(x)是二次函数
a=∑bi^2>0 f(x)min 在x=-(∑ai * bi) /(∑bi^2) 时取得最小值
代入f(x)
f[- (∑ai * bi) / (∑bi^2) ]
= (∑ai * bi)^2/(∑bi^2)-2(∑ai * bi) ^2/(∑bi^2)+ (∑ai^2)
=[(∑ai * bi-1)^2+(∑ai^2)(∑bi^2)-1]/(∑bi^2)≥0