计算二次型f=∑|i-j|xixj,1≤i

Question

计算二次型f=∑|i-j|xixj,1≤i

Answer 1

用成对初等变换.
以n = 5为例(这里其实是2f的矩阵,但无本质区别):
0 1 2 3 4
1 0 1 2 3
2 1 0 1 2
3 2 1 0 1
4 3 2 1 0
依次从第1行减去第2行,从第2行减去第3行,...,从第n-1行减去第n行:
-1 1 1 1 1
-1 -1 1 1 1
-1 -1 -1 1 1
-1 -1 -1 -1 1
4 3 2 1 0
再依次从第1列减去第2列,从第2列减去第3列,...,从第n-1列减去第n列:
-2 0 0 0 1
0 -2 0 0 1
0 0 -2 0 1
0 0 0 -2 1
1 1 1 1 0
将第1,2,...,n-1行的1/2倍加到第n行:
-2 0 0 0 1
0 -2 0 0 1
0 0 -2 0 1
0 0 0 -2 1
0 0 0 0 2
最后将第1,2,...,n-1列的1/2倍加到第n列:
-2 0 0 0 0
0 -2 0 0 0
0 0 -2 0 0
0 0 0 -2 0
0 0 0 0 2
可知正惯性指数为1,负惯性指数为n-1.