过点M（1，2）的直线l（1）当l在两个坐标轴上截距的绝对值相等时，求直线l的方程；（2）l与坐标轴的正半轴的交点分别为A、B，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Question

过点M（1，2）的直线l
（1）当l在两个坐标轴上截距的绝对值相等时，求直线l的方程；
（2）l与坐标轴的正半轴的交点分别为A、B，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

（1）当直线过原点时，直线的斜率为(2−0)/(1−0)=2，
∴直线的方程为y=2x，即2x-y=0；
当直线不过原点时，设直线的方程为(x)/(a)+(y)/(a)＝1或(x)/(a)+(y)/(−a)＝1，
分别代入点M（1，2）可得a=3或a=-1，
∴所求直线的方程为(x)/(3)+(y)/(3)＝1或(x)/(−1)+(y)/(1)＝1
化为一般式可得x+y-3=0或x-y+1=0，
综上可得直线l的方程为：2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0
（2）由题意设直线的截距式方程为(x)/(a)+(y)/(b)＝1，（a＞0，b＞0），
∴由直线l过点M可得(1)/(a)+(2)/(b)＝1，
∴1=(1)/(a)+(2)/(b)≥2√((1)/(a)•(2)/(b))=(2√(2))/(√(ab))，
∴√(ab)≥2√(2)，ab≥8
∴△AOB面积S=(1)/(2)ab≥(1)/(2)×4=2，
当且仅当(1)/(a)＝(2)/(b)即a=2且b=4时取等号
∴△AOB面积的最小值4，
此时直线l方程为(x)/(2)+(y)/(4)＝1，化为一般式可得：2x+y-4=0