如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；（2）点E是AC延

Question

如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴(OA)/(OC)＝(OC)/(OB)．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴(1)/(OC)＝(OC)/(9)，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，-3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=(1)/(3)，
∴二次函数的解析式为y=(1)/(3)（x+1）（x-9），
即y=(1)/(3)x²-(8)/(3)x-3．

（2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=(1)/(2)∠BCE=(1)/(2)×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=(1)/(2)AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，-5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴

9k+b＝0

4k+b＝−5

，
解得

k＝1

b＝−9

∴直线BD的解析式为y=x-9．
∵C（0，-3），
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
∴

b＝−3

9a+b＝0

，
解得：

b＝−3

a＝(1)/(3)

，
∴直线BC的解析式为：y=(1)/(3)x-3．


（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则

BQ

=

CD

．
分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，
因此，点Q₁（7，-4）符合

BQ

=

CD

，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=(1)/(3)x-(19)/(3)．
解方程组

y＝(1)/(3)x−(19)/(3)

y＝(1)/(3)x2−(8)/(3)x−3

得

x1＝(9−√(41))/(2)

y1＝(−29−√(41))/(6)

或

x2＝(9+√(41))/(2)

y2＝(−29+√(41))/(6)

∴点P₁坐标为（ (9+√(41))/(2)，(−29+√(41))/(6)），坐标为（ (9−√(41))/(2)，(−29−√(41))/(6)）不符合题意，舍去．
②∵Q₁（7，-4），
∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合

BQ

=

CD

．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x-17．
解方程组

y＝3x−17

y＝(1)/(3)x2−(8)/(3)x−3

得

x1＝3

y1＝−8

，
即

x2＝14

y2＝25

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（ (9+√(41))/(2)，(−29+√(41))/(6)），P₂（14，25）．
解法二：分两种情况（如图所示）：
①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=(1)/(3)x-3．
又∵DP₁∥CB，
∴设直线DP₁的解析式为y=(1)/(3)x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-(19)/(3)，
∴直线DP₁解析式为y=(1)/(3)x-(19)/(3)．
解方程组

y＝(1)/(3)x−(19)/(3)

y＝(1)/(3)x2−(8)/(3)x−3

得

x1＝(9−√(41))/(2)

y1＝(−29−√(41))/(6)

或

x2＝(9+√(41))/(2)

y2＝(−29+√(41))/(6)

∴点P₁坐标为（ (9+√(41))/(2)，(−29+√(41))/(6)）或（ (9−√(41))/(2)，(−29−√(41))/(2)）（不符合题意舍去）．
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y=(1)/(3)x-3．
取x=4，得y=-(5)/(3)，
∴M（4，-(5)/(3)），
∴O′N=O′M=(5)/(3)，
∴N（ (17)/(3)，0），
又∵D（4，-5），
∴直线DN解析式为y=3x-17．
解方程组

y＝3x−17

y＝(1)/(3)x2−(8)/(3)x−3

得

x1＝3

y1＝−8

，

x2＝14

y2＝25

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（ (9+√(41))/(2)，(−29+√(41))/(6)），P₂（14，25）．
解法三：分两种情况（如图所示）：
①求点P₁坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，
此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9，